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3、5、7、11、13、17……
孪生素数猜想最早起源自1849年法国数学家阿尔方·德·波利尼亚克提出的一个一般猜想：对任意一个自然数k来说，都存在无穷多个p是素数，同时p+2k也是素数的情况。
而孪生素数猜想就是当k等于1时的情况，也就是说自然界中存在无穷多个素数p，使得p+2也是素数，这里的素数对（p，p+2）就是孪生素数。
最简单的其实是11与13，这就是一对，但孪生素数猜想要求证明存在无数个（p，p+2）这样的素数对。
由于孪生素数猜想的高知名度以及它与“哥德巴赫猜想”的联系，因此不断有数学爱好者想要试图证明它。有些人声称已经证明了孪生素数猜想，然而到目前为止还没有出现能够通过专业数学工作者审视的证明。
想要证明孪生素数猜想，确实是一个挺难的工作，素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势，而孪生素数，与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。
在孪生素数的研究历史上，数学家们前赴后继，直到2013年5月，张益唐在孪生素数研究方面取得了突破性的进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。在研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。
尽管间隔2与间隔7000万是一段很大的距离，但《Nature》报道还是称其为一个“重要的里程碑”。
张益唐的论文于5月14日在网络上公开，5月21日正式发表；可是就在5月28日，这个常数就被下降到了6000万，然后仅仅过了两天也就是5月31日，这个数字又下降到了4200万，又过了三天，6月2日，则是1300万；次日，500万；6月5日，40万。
人们不断地改进张益唐的证明，进一步拉近了与最终解决孪生素数猜想的距离。就在2014年2月，张益唐的7000万已经被缩小到了246，即已经证明了存在无数多个（p，p+246）这样的素数对。
这似乎离2这个最终解决孪生素数猜想的距离越来越近了由于有了张益唐的突出贡献，所以孪生素数猜想已经变成三大素数猜想中最有可能被证明的猜想。
至于哥德巴赫猜想，也叫“1+1”猜想，难度比孪生素数猜想要高，与费马猜想（费马大定理）、四色猜想（四色定理）合称世界三大数学猜想。其中费马大定理和四色猜想分别被英国数学家怀尔斯教授在1995年和中国独立学者邓润华在2015年证明。
哥德巴赫猜想的源头是，1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中提出了一个大胆的猜想：任何不小于7的奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3）。于是1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的回信中提到：任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2）。
显然，第一个猜想是第二个猜想的推论，因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。
后者通过整理变为：每个大于2的偶数都可以写成两个素数之和的形式，这就是哥德巴赫猜想，也就是“1+1”——可以写成两个素数之和。
20世纪的数学家们研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是筛法、圆法、密率法和三角和法等高深的数学方法。解决这个猜想的思路，就像“缩小包围圈”一样，逐步逼近最后的结果。
1920年，挪威数学家布朗证明了定理“9+9”，由此划定了进攻哥德巴赫猜想的“大包围圈”。所谓的“9+9”，即：任何一个足够大的偶数，都可以表示成其它两个数之和，而这两个数中的每个数，都是9个奇质数之积。
从这个“9+9”开始，全世界的数学家集中力量缩小包围圈，当然最后的目标就是“1+1”了。
1924年，德国数学家雷德马赫证明了定理“7+7”。很快“6+6”、“5+5”、“4+4”相继被攻陷；直到1957年中国数学家王元证明了“3+3”、“2+3”；之后中国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年又和王元合作证明了“1+4”。
1965年，苏联数学家证明了“1+3”。
1966年，中国著名数学家陈景润攻克了“1+2”，也就是：任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的积。
这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。
由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1+1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。
甚至有许多数学家认为，要想证明“1+1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。